已知 $a,b>0$，则 $\max\left\{a,b,\dfrac 1a+\dfrac 3b\right\}$ 的最小值为（ ）
A．$\sqrt 2$
B．$\sqrt 3$
C．$2$
D．$\sqrt 5$
答案 C．
解析 根据题意，有\[\begin{split}\max\left\{a,b,\dfrac 1a+\dfrac 3b\right\}&\geqslant \dfrac{a+3b+4\left(\dfrac 1a+\dfrac 3b\right)}{1+3+4}\\ &=\dfrac{a+\dfrac 4a+3\left(b+\dfrac 4b\right)}{8}\\ &\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $a=b=2$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．