每日一题[1272]加权平均

已知 $a,b>0$，则 $\max\left\{a,b,\dfrac 1a+\dfrac 3b\right\}$ 的最小值为（       ）

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\begin{split}\max\left\{a,b,\dfrac 1a+\dfrac 3b\right\}&\geqslant \dfrac{a+3b+4\left(\dfrac 1a+\dfrac 3b\right)}{1+3+4}\\ &=\dfrac{a+\dfrac 4a+3\left(b+\dfrac 4b\right)}{8}\\ &\geqslant 2,\end{split}$$ 等号当 $a=b=2$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．