每日一题[1239]两面夹击

已知函数 $f(x)=|x\ln x|+ax$，$a\in\mathbb R$．

1、若 $f'\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=\dfrac 12f(1)$，求 $a$ 的值；

2、定义在 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$ 上的函数 $g(x)=f(x)-ax-m$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求实数 $m$ 的取值范围，并证明 $x_1+x_2+m<2{\rm e}^{-\frac 12}+1$．

解析

1、根据题意，有

$$f(x)=\begin{cases} x\ln x+ax,&x\geqslant 1,\\ -x\ln x+ax,&0<x<1,\end{cases}$$ 于是 $$f'\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=-1-\ln{\rm e}^{-\frac 12}+a=a-\dfrac 12,$$ 因此 $$a-\dfrac 12=\dfrac 12a,$$ 解得 $$a=1.$$

2、设函数

$$h(x)=\begin{cases} -x\ln x,&{\rm e}^{-1}<x<1,\\ x\ln x,&x\geqslant 1,\end{cases}$$ 则 $x_1,x_2$ 是直线 $y=m$ 与函数 $h(x)$ 的图象的两个公共点的横坐标．因此 $m$ 的取值范围是 $\left(0,{\rm e}^{-1}\right)$．

取 $h(x)$ 在 $x={\rm e}^{-\frac 12}$ 和 $x=1$ 处的两条切线

$$\begin{split} l_1&:y=-\dfrac 12\left(x-{\rm e}^{-\frac 12}\right)+\dfrac 12{\rm e}^{-\frac 12},\\ l_2&:y=x-1,\end{split}$$ 设直线 $y=m$ 与 $l_1,l_2$ 的公共点的横坐标分别为 $x_3,x_4$ 且 $${\rm e}^{-1}<x_1\leqslant x_3<1<x_2<x_4,$$ 于是 $$x_1+x_2<x_3+x_4=\left(2{\rm e}^{-\frac 12}-2m\right)+(1+m)=2{\rm e}^{-\frac 12}+1-m,$$ 因此原命题得证．