每日一题[1233]积少成多

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$．

1、证明：$a_{n+1}>a_n$；

2、设 $b_n=1-a_n$，是否存在实数 $M>0$，使得 $b_1+b_2+\cdots+b_n\leqslant M$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立？若存在，求出 $M$ 的一个值；若不存在，请说明理由．

解析

1、我们熟知

$${\rm e}^x>x+1,x\ne 0,$$ 于是 $$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}>(a_n-1)+1=a_n,$$ 命题得证．

2、可以证明

$$b_n\geqslant \dfrac{1}{n+1}.$$ 只需要证明 $$a_n\leqslant \dfrac{n}{n+1}.$$ 事实上，利用数学归纳法可以证明该结论．

递推证明   

$$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}\leqslant {\rm e}^{-\frac{1}{n+1}},$$ 而 $$\ln\dfrac{n+1}{n+2}>1-\dfrac{n+2}{n+1}=-\dfrac{1}{n+1},$$ 于是 $$a_{n+1}\leqslant \dfrac{n+1}{n+2}.$$ 于是 $$b_1+b_2+\cdots+b_n\geqslant \dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n> \ln(n+1)-\ln 2,$$ 因此不存在符合题意的 $M$．