每日一题[1220]分类估计

已知 $x,y$ 为实数，且满足 $\begin{cases} (x-1)^3-2017(x-1)=-1,\\ (y-1)^3-2017(y-1)=1,\end{cases}$ 则 $x+y$ 的值（       ）

A．一定等于 $2$

B．一定小于 $92$

C．一定小于 $90$

D．一定大于 $-92$

解    BD．

设函数

$$f(t)=t^3-2017t,$$ 则 $x-1$ 为直线 $y=-1$ 与该函数图象的公共点的横坐标，有 $3$ 个可能的取值，记为 $a,b,c$ 且 $a<b<c$，则根据奇函数的性质，$y-1$ 的可能取值为 $-a,-b,-c$．由 $$\sqrt{2017}=44.91\cdots,$$ 不难得到 $$\begin{cases} -45<a<-44,\\ 0<b<1,\\ 44<c<45.\end{cases}$$

情形一    $x-1,y-1$ 互为相反数，此时

$$x+y=2.$$

情形二    $x-1,y-1$ 不互为相反数，则

$$\begin{split} -46<a-b<-44,\\ -90<a-c<-88,\\ -45<b-c<-43,\end{split}$$ 综上所述，$x+y$ 的值一定小于 $92$ 且一定大于 $-92$，可以不等于 $2$，也可以不小于 $90$．