每日一题[1206]设而不求

已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x),g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=\dfrac{2x}{x^2+8}$，则 $\min\{f(x),g(x)\}$ 的最大值为_______．

解    $\dfrac{\sqrt 2}8$．

根据题意，设 $$\begin{cases} f(x)=\dfrac{x}{x^2+8}+h(x),\\ g(x)=\dfrac{x}{x^2+8}-h(x),\end{cases}$$ 则 $$\begin{split}\min\{f(x),g(x)\}&=\dfrac{x}{x^2+8}-|h(x)|\\ &=\begin{cases}\dfrac{1}{x+\dfrac 8x}-|h(x)|,&x\ne 0,\\ -|h(0)|,&x=0,\end{cases}\\ &\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt 2},\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} x=2\sqrt 2,\\ h(2\sqrt 2)=0,\end{cases}$$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}8$．