每日一题[1171]统一变量

已知 $a+b+c=1,a,b,c\in(0,1)$，求证：$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant(a-2)\ln2$．

解    由琴生不等式有

$$\begin{split} a\ln a+b\ln b+c\ln c-(a-2)\ln2 &\geqslant a{\ln} a+2\cdot\dfrac{b+c}2{\ln}\dfrac{b+c}2-(a-2){\ln} 2\\ &=a\ln a+(1-a)\ln(1-a)+\ln 2\\ &\geqslant 2\cdot \dfrac 12\ln \dfrac 12+\ln 2\\ &=0, \end{split}$$ 因此原不等式得证．