每日一题[113] 平面向量的“积化和差”

如图，已知正方形\(ABCD\)的边长为\(2\)，点\(E\)为\(AB\)的中点．以\(A\)为圆心，\(AE\)为半径，作弧交\(AD\)于点\(F\)．若\(P\)为劣弧\(EF\)上的动点，则\(\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}\)的最小值为_______．

正确答案是\(5-2\sqrt 5\)．

坐标法

以\(A\)为原点，\(AB\)为\(x\)轴方向，\(AD\)为\(y\)轴方向建立平面直角坐标系，如图．

设\(\angle PAE=\theta\)，则\(C(2,2)\)、\(D(0,2)\)、\(P\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\)，其中\(\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\)．

于是\[\begin{split}\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}&=\left(2-\cos\theta,2-\sin\theta\right)\cdot\left(-\cos\theta,2-\sin\theta\right)\\&=5-4\sin\theta-2\cos\theta\\&=5-2\sqrt 5\sin\left(\theta+\varphi\right)\\&\geqslant 5-2\sqrt 5,\end{split}\]其中\(\varphi\)为辅助角，等号可以取得．

因此所求最小值为\(5-2\sqrt 5\)．

“积化和差”

我们熟知极化恒等式\[4\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)^2-\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)^2,\]而注意到在本问题中向量\(\overrightarrow{PC}\)与向量\(\overrightarrow{PD}\)的差为定向量，于是\[\begin{split}4\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}&=\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}\right)^2-\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PD}\right)^2\\&=\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}\right)^2-4,\end{split}\]取\(CD\)的中点\(M\)，则有\[\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}=PM^2-1,\]如图．

问题转化为求\(PM^2-1\)的最小值，显然当\(A\)、\(P\)、\(M\)三点共线时，\(PM^2-1\)取得最小值\[\left(AM-1\right)^2-1=\left(\sqrt 5-1\right)^2-1=5-2\sqrt 5.\]