每日一题[37] 向量的正交分解

如图，在直角梯形\(ABCD\)中，\(AB\parallel CD\)，\(AB\perp BC\)，\(AB=2\)，\(CD=1\)，\(BC=a\)，\(P\)为线段\(AD\)（含端点）上的一个动点．设\(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=y\)，对于函数\(y=f(x)\)，给出以下三个结论：

① \(\forall a\in (0,+\infty)\)，都有\(f(1)=1\)成立；

② \(\forall a\in (0,+\infty)\)，函数\(f(x)\)的最大值都等于\(4\)；

③ 当\(a=2\)时，\(f(x)\)的值域为\([1,4]\)．

所有正确结论的序号是_______．

 答案是①②．

如图，将\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)正交分解，则有\[\begin{split}\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}&=\left(\overrightarrow{t_1}+\overrightarrow{t_3}\right)\cdot\left(\overrightarrow{t_1}+\overrightarrow{t_2}\right)\\&=\overrightarrow{t_1}\cdot\overrightarrow{t_1}+\overrightarrow{t_2}\cdot\overrightarrow{t_3}\\&=(2-x)^2-a^2x(1-x).\end{split}\]

此时容易知道①②正确，如图．

考虑③，当\(a=2\)时，由上式\[f(x)=5x^2-8x+4,\]当\(x\in [0,1]\)时，其值域为\(\left[\dfrac 45,2\right]\)．

事实上，只有\(a\leqslant\sqrt 2\)时，函数\(f(x)\)的值域才为\([1,4]\)．

 点评    正交分解是处理向量问题，尤其是数量积的问题的重要方法．但此题的最好解法为利用极化恒等式，可以参考http://lanqi.org/?p=2647及http://lanqi.org/?p=2965．