每日一题[1155]抛物线的几何性质

已知过抛物线 $C:y^2=2px$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $P$ 点，若 $\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{PB}=\mu \overrightarrow{BF}$，则 $\lambda+\mu$ 的值是________．

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正确答案是$-1$．

分析与解     设 $A\left(2pa^2,2pa\right)$，$B\left(2pb^2,2pb\right)$，$F\left(\dfrac p2,0\right)$，$P(0,t)$，则根据抛物线的几何平均性质，有

$$2pa^2\cdot 2pb^2=\left(\dfrac p2\right)^2,$$ 也即 $$a^2b^2=\dfrac{1}{16}.$$ 此时 $$\begin{split} \lambda+\mu&=\dfrac{2pa^2-0}{\dfrac p2-2pa^2}+\dfrac{2pb^2-0}{\dfrac p2-2pb^2}\\&=\dfrac{4a^2}{1-4a^2}+\dfrac{4b^2}{1-4b^2}\\&=\dfrac{4a^2}{1-4a^2}+\dfrac{16a^2b^2}{4a^2-16a^2b^2}\\&=\dfrac{4a^2}{1-4a^2}+\dfrac{1}{4a^2-1}\\&=-1.\end{split}$$
其它解法        也可以由定比点差法求解：设 $P(0,t),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，因为 $A,B$ 分 $PF$ 的比分别为 $\lambda,\mu$，所以有 $$x_1=\dfrac{0+\lambda\cdot\frac p2}{1+\lambda},x_2=\dfrac{0+\mu\cdot\frac p2}{1+\mu},$$ 由抛物线的几何平均性质有 $$x_1x_2=\dfrac {p^2}4=\dfrac{\lambda\mu p^2}{4(1+\lambda)(1+\mu)},$$ 化简得 $\lambda+\mu=-1$．