每日一题[1113]存在公切线

已知抛物线 $\Omega$ 的顶点是坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M,N$ 两点，且满足 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-3$．
（1）求抛物线 $\Omega$ 的方程；
（2）若直线 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$ 交于 $A,B$ 两点，在抛物线 $\Omega$ 上是否存在异于 $A,B$ 的点 $C$，使得经过 $A,B,C$ 三点的圆与抛物线 $\Omega$ 在点 $C$ 处有相同的切线？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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分析与解　（1）由题可设抛物线 $\Omega:x^2=2py$（$p>0$），直线 $l:y=kx+\dfrac{p}{2}$，联立得

$$x^2-2pkx-p^2=0,$$ 设 $M(2px_1,2px_1^2),N(2px_2,2px_2^2)$，则有 $$x_1x_2=-\dfrac14,$$ 因此有 $$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4p^2\cdot\left(x_1x_2+x_1^2x_2^2\right)=-3,$$ 解得 $p=2$，因此抛物线 $\Omega$ 的方程为 $x^2=4y$．

（2）联立 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$，得

$$A(0,0),B(4,4),$$ 因此过 $A,B,C$ 三点的圆可设为 $$x^2+y^2+Dx+Ey=0,$$ 设点 $C\left(4m,4m^2\right)$，注意到圆与抛物线在 $C$ 处相切，在 $A,B$ 处相交，联立抛物线 $\Omega$ 与圆的方程，得 $$\dfrac{x^4}{16}+\left(\dfrac{E}{4}+1\right)x^2+Dx=0,$$ 可知 $$4m,4m,0,4$$ 是其四个根，根据高次方程韦达定理有 $$4m+4m+0+4=0,$$ 解得 $m=-\dfrac12$，因此 $-2,-2,4$ 是方程 $$\dfrac{x^3}{16}+\left(\dfrac{E}{4}+1\right)x+D=0,$$ 的三个根，故有 $$\begin{aligned} (-2)\cdot(-2)\cdot4=&-16\cdot D,\\(-2)^2+(-2)\cdot 4+(-2)\cdot 4=&16\left(\dfrac E4+1\right),\end{aligned}$$ 解得 $D=-1,E=-7$，因此存在 $C(-2,1)$ 满足题意，且圆的方程为 $$x^2+y^2-x-7y=0.$$