每日一题[1092]双曲线的相交面积定义

已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为（　　）

A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．以上答案都不对

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正确答案是A．

分析与解　法一

根据双曲线的相交直线面积定义，双曲线的方程改写为

$$\dfrac{x^2}{2}-2y^2=2,$$ 可得 $\triangle MON$ 的面积为定值 $2$．记 $\angle MON=\theta$，则 $$\tan\theta=\dfrac{2\cdot \dfrac 12}{1-\left(\dfrac 12\right)^2}=\dfrac 43,$$ 进而 $$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=S_{\triangle MON}\cdot \dfrac{2}{\tan\theta}=3.$$

法二　设 $M(2m,m)$，$N(2n,-n)$，则根据双曲线的相交直线面积定义，有 $P\left(m+n,\dfrac{m-n}2\right)$，于是

$$\dfrac{(m+n)^2}{4}-\left(\dfrac{m-n}2\right)^2=1,$$ 即 $$mn=1,$$ 因此 $$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=2m\cdot 2n+m\cdot (-n)=3mn=3.$$

注　双曲线的相交直线面积定义

坐标平面 $xOy$ 内双曲线 $H:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）可以看作是直线 $l_1:y=\dfrac bax$ 上一点 $A$ 和直线 $l_2:y=-\dfrac bax$ 上一点 $B$ 形成的线段 $AB$ 的中点的轨迹，在 $l_1,l_2$ 形成的包含 $x$ 轴的对角区域内的部分，其中 $\triangle AOB$ 的面积为定值 $ab$．

读者可以自行推导证明．

由此容易得到当直线 $AB$ 上有且只有一个点（即线段 $AB$ 的中点）在双曲线上，因此弦 $AB$ 与双曲线相切于弦的中点．