每日一题[111] 最大张角

已知非零向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$互相垂直，则$\overrightarrow a+ \overrightarrow b$和$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角余弦值的最小值为_______．

正确的答案是$\dfrac{2\sqrt 2}{3}$．

法一

根据题意，所求两个向量夹角的余弦值为 $$\begin{split}\dfrac{\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot\left(\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|\cdot\left|\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|}&\triangleq \dfrac{x+2y}{\sqrt{x+y}\cdot\sqrt{x+4y}}\\&=\sqrt{\dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2+5xy+4y^2}}\\&= \sqrt{1-\dfrac{xy}{x^2+5xy+4y^2}}\\&=\sqrt{1-\dfrac{1}{\dfrac xy+4\cdot\dfrac yx+5}}\\&\geqslant\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}\\&=\dfrac{2\sqrt 2}{3},\end{split}$$ 其中$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a =x$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=y$，等号当且仅当$x=2y$时取得．

法二

如图，设$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {AB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow a+2\overrightarrow b$，且$OA=AB=2$，取线段$AB$的中点$M$．

由圆的等张角性可知，当三角形$OPQ$的外接圆与$\overrightarrow a$的基线相切于$O$点时$\angle POQ$最大，此时容易求得 $$\cos\angle POQ=\dfrac{\sqrt{PM^2-\left(\dfrac 12PQ\right)^2}}{PM}=\dfrac{2\sqrt2}{3}.$$ 否则当线段$PQ$上下平移时，$O$点在圆的外部，对应的张角$\angle POQ$会变小，如图．