每日一题[36] “等张角线”

已知椭圆\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在直线\(l:x-\sqrt 3y+8+2\sqrt 3=0\)上，当\(\angle F_1PF_2\)取最大值时，\(\dfrac{PF_1}{PF_2}=\)________．

和物理中的电场线、磁场线类似，我们可以作出对线段\(F_1F_2\)的“等张角线”，如图所示：

由此可知，取\(F_1F_2\)的“等张角线”中与直线\(l\)相切的一条圆弧，则切点位置就是\(\angle F_1PF_2\)取最大值的位置．

从而，设该圆弧的圆心为\(M(0,m)\)，则\[\sqrt{12+m^2}=\dfrac{\left|\sqrt 3m-8-2\sqrt 3\right|}{\sqrt{1^2+\left(\sqrt 3\right)^2}},\]解得\[m=2\lor m=-2\left(7+8\sqrt 3\right).\]

舍去负根，可得\(m=2\)，进而圆弧的半径\(R=4\)，可计算得\(P\left(-2,2+2\sqrt 3\right)\)．因此可计算得\[\dfrac{PF_1}{PF_2}=\sqrt 3-1.\]

 点评    利用“等xx线”解决问题的想法的实质就是轨迹方程的思想．

2015年2月25日，补充练习题一枚．

已知椭圆\(E\)的离心率为\(1/3\)，左、右焦点分别为\(F_1\)、\(F_2\)，\(P\)为椭圆左准线上的一点，求\(\tan\angle F_1PF_2\)的最大值．

参考答案    \(\dfrac 1{\sqrt{80}}\)．