每日一题[1078]递归与递推

已知 \[M=\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}},\]求不超过 \(M\) 的最大整数．

正确答案是\(2017\)．

分析与解　考虑到对任意正整数 \(k\geqslant 2\)，则\[\sqrt{k(k+2)}<k+1,\]于是\[\begin{split} \sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}&<2017^2,\\\sqrt{\left(2017^2-2\right)\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}&<2017^2-1,\\\sqrt{\left(2017^2-3\right)\sqrt{\left(2017^2-2\right)\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}&<2017^2-2,\\\cdots,\\\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}&<2019,\\\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}&<2018,\end{split}\]另一方面，有\[\begin{split} M&=\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}\\&>\sqrt{2017\sqrt{2017\sqrt{2017\sqrt{\cdots\sqrt{2017\sqrt{2017^2}}}}}}\\&=2017,\end{split}\]于是不超过 \(M\) 的最大整数为 \(2017\)．

注　更一般的命题为：

推广　若 \(n\in\mathbb N^{\ast}\)，且 \(n\geqslant 2\)，则\[n<\sqrt{n\sqrt{(n+1)\sqrt{\cdots\sqrt{\left(n^2-1\right)\sqrt{n^2}}}}}<n+1.\]