每日一题[109] 举重若轻

已知函数

$$f(x)=1+x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\cdots-\dfrac{x^{2014}}{2014}+\dfrac{x^{2015}}{2015},$$ 若函数$f(x)$的零点都在区间$[a,b]$（其中$a<b$且$a,b\in\mathcal Z$）内，则$b-a$的最小值为_______．

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正确的答案是$1$．

注意到

$$\begin{split}f'(x)&=1-x+x^2-x^3+\cdots-x^{2013}+x^{2014}\\&=\begin{cases}2015,&x=-1\\\dfrac{1+x^{2015}}{1+x},&x\neq -1.\end{cases}\end{split}$$ 因此$f(x)$在$\mathcal R$上单调递增．

考虑到

$$f(-1)<0\land f(0)>0,$$ 于是$f(x)$的所有零点都在区间$[-1,0]$内，因此$b-a$的最小值为$1$．