设函数 f(x)=kx2−kx,g(x)={lnx,x⩾1,−x3+(a+1)x2−ax,0<x<1, 若使得不等式 f(x)⩾g(x) 对一切正实数 x 恒成立的实数 k 存在且唯一,则实数 a 的值为_______.
正确答案是2.
分析与解 根据题意,有∀0<x<1,k(x−1)⩾−x2+(a+1)x−a,且∀x>1,k(x−1)⩾lnxx.如图,若使得不等式 f(x)⩾g(x) 对一切正实数 x 恒成立的实数 k 存在且唯一,则直线 y=k(x−1) 是函数g1(x)=lnxx,g2(x)=−x2+(a+1)x−a的公切线.因此(lnxx)′x=1=(−x2+(a+1)x−a)′x=1,也即1=−2+(a+1),解得 a=2.