每日一题[1071]恰到好处

设函数 f(x)=kx2kxg(x)={lnx,x1,x3+(a+1)x2ax,0<x<1, 若使得不等式 f(x)g(x) 对一切正实数 x 恒成立的实数 k 存在且唯一,则实数 a 的值为_______.


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正确答案是2

分析与解 根据题意,有0<x<1,k(x1)x2+(a+1)xa,x>1,k(x1)lnxx.如图,若使得不等式 f(x)g(x) 对一切正实数 x 恒成立的实数 k 存在且唯一,则直线 y=k(x1) 是函数g1(x)=lnxx,g2(x)=x2+(a+1)xa的公切线.因此(lnxx)x=1=(x2+(a+1)xa)x=1,也即1=2+(a+1),解得 a=2

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