每日一题[1065]函数的单调性

已知函数 $f(x)=x^2-|ax+1|$，若函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是__________．

正确答案是$[-2,2]$．

分析与解　当 $a=0$ 时显然符合题意．
当 $a\ne 0$ 时，函数 $$f(x)=\begin{cases}x^2+ax+1,&ax+1<0,\\ x^2-ax-1,&ax+1\geqslant 0,\end{cases}$$ 因此 $f(x)$ 的图象是两条抛物线以 $x=-\dfrac 1a$ 为界“接驳”而成．
考虑到它们的对称轴分别为 $x=-\dfrac a2$ 和 $x=\dfrac a2$．

情形一　当 $a>0$ 时，有 $-\dfrac 1a<0$，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的递增性由右侧的抛物线 $y=x^2-ax-1$ 提供，此时有 $\dfrac a2\leqslant 1$，于是 $0<a\leqslant 2$．

情形二　当 $a<0$ 且 $0<-\dfrac 1a\leqslant 1$，即 $a\leqslant -1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的递增性由右侧的抛物线 $y=x^2+ax+1$ 提供，此时有 $-\dfrac a2\leqslant 1$，于是 $-2\leqslant a\leqslant -1$．

情形三　当 $-\dfrac 1a>1$，即 $-1<a<0$ 时，左边的抛物线 $y=x^2-ax-1$ 在 $\left(\dfrac a2,-\dfrac 1a\right)$ 上单调递增．又 $-\dfrac a2<\dfrac 12$，所以右侧的抛物线 $y=x^2+ax-1$ 在 $\left(-\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递增，所以此时符合题意．

综上所述，所求的实数 $a$ 的取值范围是 $[-2,2]$．

下面给出一道练习：

若函数 $g(x)=x^2-\big|x^2-ax-4\big|$ 在区间 $(-\infty,-2)$ 和 $(2,+\infty)$ 上均单调递增，求实数 $a$ 的取值范围．

正确答案是$(0,8]$．

令$f(x)=x^2-ax-4$，记此函数的两个零点为$x_1,x_2$，$x_1<x_2$，则函数 $$g(x)=\begin{cases} ax+4,&x<x_1,\\ 2x^2-ax-4,&x_1\leqslant x \leqslant x_2,\\ ax+4,&x>x_2.\end{cases}$$ 考虑 $x$ 趋于正负无穷的情形，可得 $a>0$．
因为$f(-2)=2a>0,f(0)<0$，而$f(x)$的对称轴$x=\dfrac a2>0$，所以$-2<x_1<0$．
所以当 $a>0$ 时，函数 $g(x)$ 在区间 $(-\infty,x_1)$ 上单调递增，在 $\left(x_1,\dfrac a4\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac a4,+\infty\right)$ 上单调递增，因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,8]$．