每日一题[1064]你整我整大家整

已知 $a,b$ 是正整数,且 $\sqrt{\dfrac 7a}+\sqrt{\dfrac{10}b}$ 也是正整数,求所有符合题意的 $(a,b)$.


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分析与解 设 $\sqrt{\dfrac 7a}+\sqrt{\dfrac{10}b}=m$($m\in\mathbb N^*$),则\[\dfrac 7a=m^2+\dfrac{10}{b}-2m\cdot\sqrt{\dfrac{10}b},\]于是 $\sqrt{\dfrac{10}b}$ 是有理数.设\[\sqrt{\dfrac{10}b}=\dfrac pq,\]其中 $p,q\in\mathbb N^*$ 且 $(p,q)=1$,则\[b=\dfrac{10q^2}{p^2}\in\mathbb N^*,\]于是 $p=1$.类似的,可得\[\sqrt{\dfrac 7a}=\dfrac 1{q_1},\sqrt{\dfrac{10}b}=\dfrac 1{q_2},\]其中 $q_1,q_2\in\mathbb N^*$.
根据题意,有 $\left(q_1,q_2\right)=(1,1),(2,2)$,因此所有符合题意的 $(a,b)=(7,10),(28,40)$.

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