每日一题[1052]贫富不悬殊

已知函数 f(x)=x+axa>0),若对任意的 m,n,p[13,1],长为 f(m),f(n),f(p) 的三条线段均可以构成三角形,则实数 a 的取值范围是_______.


cover正确答案是(115,53)

分析与解 根据题意,函数 f(x) 在闭区间 [13,1] 上的最大值 t 小于最小值 s 的两倍,即 t<2s.由于函数 f(x)=x+ax(0,a) 上单调递减,在 (a,+) 上单调递增.因此按 a13,1 的大小关系讨论.

情形一 a13 时,有s=f(13)=3a+13,t=f(1)=a+1,2s>t 解得115<a19.
情形二 13<a<1 时,有s=f(a)=2a,此时4a(a+1)=(aa)+(3a1)>0,4a(3a+13)=3(aa)+(a13)>0,于是必有 2s>t,符合题意(情形二也可以通过直接解两个不等式得到).
情形三 a1 时,有t=f(13)=3a+13,s=f(1)=a+1,2s>t 解得1a<53.
综上所述,所求实数 a 的取值范围是 (115,53)

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