已知函数 f(x)=x+ax(a>0),若对任意的 m,n,p∈[13,1],长为 f(m),f(n),f(p) 的三条线段均可以构成三角形,则实数 a 的取值范围是_______.
分析与解 根据题意,函数 f(x) 在闭区间 [13,1] 上的最大值 t 小于最小值 s 的两倍,即 t<2s.由于函数 f(x)=x+ax 在 (0,√a) 上单调递减,在 (√a,+∞) 上单调递增.因此按 √a 与 13,1 的大小关系讨论.
情形一 当 √a⩽13 时,有s=f(13)=3a+13,t=f(1)=a+1,由 2s>t 解得115<a⩽19.
情形二 当 13<√a<1 时,有s=f(√a)=2√a,此时4√a−(a+1)=(√a−a)+(3√a−1)>0,且4√a−(3a+13)=3(√a−a)+(√a−13)>0,于是必有 2s>t,符合题意(情形二也可以通过直接解两个不等式得到).
情形三 当 √a⩾1 时,有t=f(13)=3a+13,s=f(1)=a+1,由 2s>t 解得1⩽a<53.
综上所述,所求实数 a 的取值范围是 (115,53).