每日一题[1052]贫富不悬殊

已知函数 $f(x)=x+\dfrac ax$（$a>0$），若对任意的 $m,n,p\in\left[\dfrac 13,1\right]$，长为 $f(m),f(n),f(p)$ 的三条线段均可以构成三角形，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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正确答案是$\left(\dfrac 1{15},\dfrac 53\right)$．

分析与解　根据题意，函数 $f(x)$ 在闭区间 $\left[\dfrac 13,1\right]$ 上的最大值 $t$ 小于最小值 $s$ 的两倍，即 $t<2s$．由于函数 $f(x)=x+\dfrac ax$ 在 $\left(0,\sqrt a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt a,+\infty\right)$ 上单调递增．因此按 $\sqrt a$ 与 $\dfrac 13,1$ 的大小关系讨论．

情形一　当 $\sqrt a\leqslant \dfrac 13$ 时，有

$$\begin{split}s=&f\left(\dfrac 13\right)=3a+\dfrac 13,\\t=&f(1)=a+1,\end{split}$$ 由 $2s>t$ 解得 $$\dfrac{1}{15}<a\leqslant \dfrac 19.$$
情形二　当 $\dfrac 13< \sqrt a<1$ 时，有 $$s=f\left(\sqrt a\right)=2\sqrt a,$$ 此时 $$4\sqrt a-(a+1)=\left(\sqrt a-a\right) +\left(3\sqrt a-1\right)>0,$$ 且 $$4\sqrt a-\left(3a+\dfrac 13\right)=3\left(\sqrt a-a\right)+\left(\sqrt a-\dfrac 13\right)>0,$$ 于是必有 $2s>t$，符合题意（情形二也可以通过直接解两个不等式得到）．
情形三　当 $\sqrt a\geqslant 1$ 时，有 $$\begin{split} t=&f\left(\dfrac 13\right)=3a+\dfrac 13,\\s=&f(1)=a+1,\end{split}$$ 由 $2s>t$ 解得 $$1\leqslant a< \dfrac 53.$$
综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 1{15},\dfrac 53\right)$．