已知函数 \(f(x)=x+\dfrac ax\)（\(a>0\)），若对任意的 \(m,n,p\in\left[\dfrac 13,1\right]\)，长为 \(f(m),f(n),f(p)\) 的三条线段均可以构成三角形，则实数 \(a\) 的取值范围是_______．
正确答案是\(\left(\dfrac 1{15},\dfrac 53\right)\)．
分析与解 根据题意，函数 \(f(x)\) 在闭区间 \(\left[\dfrac 13,1\right]\) 上的最大值 \(t\) 小于最小值 \(s\) 的两倍，即 \(t<2s\)．由于函数 \(f(x)=x+\dfrac ax\) 在 \(\left(0,\sqrt a\right)\) 上单调递减，在 \(\left(\sqrt a,+\infty\right)\) 上单调递增．因此按 \(\sqrt a\) 与 \(\dfrac 13,1\) 的大小关系讨论．
情形一 当 \(\sqrt a\leqslant \dfrac 13\) 时，有\[\begin{split}s=&f\left(\dfrac 13\right)=3a+\dfrac 13,\\t=&f(1)=a+1,\end{split}\]由 \(2s>t\) 解得\[\dfrac{1}{15}<a\leqslant \dfrac 19.\]
情形二 当 \(\dfrac 13< \sqrt a<1\) 时，有\[s=f\left(\sqrt a\right)=2\sqrt a,\]此时\[4\sqrt a-(a+1)=\left(\sqrt a-a\right) +\left(3\sqrt a-1\right)>0,\]且\[4\sqrt a-\left(3a+\dfrac 13\right)=3\left(\sqrt a-a\right)+\left(\sqrt a-\dfrac 13\right)>0,\]于是必有 \(2s>t\)，符合题意（情形二也可以通过直接解两个不等式得到）．
情形三 当 \(\sqrt a\geqslant 1\) 时，有\[\begin{split} t=&f\left(\dfrac 13\right)=3a+\dfrac 13,\\s=&f(1)=a+1,\end{split} \]由 \(2s>t\) 解得\[1\leqslant a< \dfrac 53.\]
综上所述，所求实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left(\dfrac 1{15},\dfrac 53\right)\)．