每日一题[1048]互为因果

已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足 $|f(0)|,|f(-1)|,|f(1)|$ 均不大于 $1$，则当 $x\in [-1,1]$ 时，$|f(x)|$ 的最大值 $M(a,b,c)$ 的最大值是________．

正确答案是$\dfrac 54$．

分析与解　由于 $$\begin{split}f(-1)&=a-b+c,\\f(0)&=c,\\f(1)&=a+b+c,\end{split}$$ 可得 $$\begin{split}a&=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-f(0),\\b&=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1),\\c&=f(0),\end{split}$$ 因此 $$\begin{split}|f(x)|&=\left|\left[\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-f(0)\right]\cdot x^2+\left[\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)\right]\cdot x+f(0)\right|\\ &=\left|f(1)\cdot \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+f(-1)\cdot \left(\dfrac 12x^2-\dfrac 12x\right)+f(0)\cdot \left(1-x^2\right)\right|,\end{split}$$ 考虑到对称性，不妨设 $x\in [0,1]$，于是 $$\begin{split}|f(x)|&\leqslant |f(1)|\cdot \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+|f(-1)|\cdot \left(\dfrac 12x-\dfrac 12x^2\right)+|f(0)|\cdot \left(1-x^2\right)\\&\leqslant \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+\left(\dfrac 12x-\dfrac 12x^2\right)+\left(1-x^2\right)\\&=-x^2+x+1\\&\leqslant \dfrac 54.\end{split}$$ 事实上，当 $(a,b,c)=\left(1,-1,-1\right)$ 时，有 $M(a,b,c)=\dfrac 54$，因此所求的最大值为 $\dfrac 54$，如图．