每日一题[1030]四边形数列

设数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$满足$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数$n$，均有 $$\begin{split}a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|,\end{split}$$ 求证：对任意正整数$a,b,c,d$，均存在正整数$m$，使得$a_m=b_m=c_m=d_m=0$．

分析与证明　记$(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1})=f(a_n,b_n,c_n,d_n)$，并称$f$为一次操作．由于如果得到的四个数均不为$0$，那么经过$1$次操作后得到的四个数的最大数至少减少$1$，因为最大数有限，因此必然在经过有限次操作之后每一步得到的四个数中始终存在$0$（即四个数均非零的情况再也不会出现）．

考虑剩下的三个数$a,b,c$，若它们互不相等，则经过一次操作后 $$(0,a,b,c)\to (a,|a-b|,|b-c|,c),$$ 有非零的数出现，矛盾，所以$a,b,c,0$中必然会出现相等的数．

情形一　得到$(0,a,a,b)$，接下来得到$(a,0,|a-b|,b)$，要保证操作后继续出现零，此时应有$|a-b|=b$或$a=b$．先考虑$|a-b|=b$，此时有$a=0$或$a=2b$，且操作如下 $$(a,0,b,b)\to (a,b,0,b)\to \left(b,b,b,b\right),$$ 所以$b=0=a$；若$a=b$，则有 $$(0,a,a,a)\to(a,0,0,a)\to(a,0,a,0)\to(a,a,a,a),$$ 所以$a=0$；

情形二　得到$(0,a,b,a)$，接下来得到$(a,|a-b|,|a-b|,a)$中有零，所以$a=0$或$a=b$，与情形一类似；

情形三　得到$(0,b,a,a)$，与情形一类似；

情形四　$a,b,c$中有零，操作一次必对应上面三种情形之一．

综上所述，原命题得证．

注　这是尬题Top５中一个问题的拓展．