每日一题[1023]杀鸡用牛刀

如图，$\triangle ABC$中，$BA=BC$，延长$BA$至点$D$使$BD=AC$，若$\angle BCD=50^\circ$，求证：$\angle B=100^\circ$．

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分析与证明　设$BD=AC=2$，$\angle BDC=\theta$，则

$$\angle DCA=25^\circ -\dfrac 12\theta,\angle BCA=25^\circ+\dfrac12\theta.$$ 在$\angle ADC$中应用正弦定理，可得 $$\dfrac{AC}{\sin\angle BDC}=\dfrac{AD}{\sin\angle ACD}=\dfrac{AC-AB}{\sin\angle ACD},$$ 于是 $$\dfrac{2}{\sin\theta}=\dfrac{2-\dfrac{1}{\cos\left(25^\circ+\dfrac 12\theta\right)}}{\sin\left(25^\circ-\dfrac 12\theta\right)},$$ 即 $$2\sin\left(25^\circ-\dfrac 12\theta\right)\cdot \cos\left(25^\circ+\dfrac 12\theta\right)=2\cos\left(25^\circ+\dfrac 12\theta\right)\cdot \sin\theta-\sin\theta,$$ 积化和差，得 $$2\sin\theta\cos\left(25^\circ+\dfrac 12\theta\right)=\sin 50^\circ.$$ 设等式左边函数为$f(\theta)$，则其导函数 $$f'(\theta)=\cos \theta\cdot\cos \left(\dfrac 12\theta+25^\circ\right)\cdot \left[2-\tan \theta\cdot\tan \left(\dfrac 12\theta+25^\circ\right)\right],$$ 于是当$\theta$在不超过$50^\circ$时，$f(\theta)$单调递增，结合$f(30^\circ)=\sin 50^\circ$，可得$\theta=30^\circ$，因此$\angle B=100^\circ$．

注　本题来自尬题17，其中单调性的判断用到了$\tan 50^\circ<\sqrt 2$的结论，下面给出这个结论的两种证明．

方法一　考虑到$50^\circ$的三倍$150^\circ$是个特殊角，考虑三倍角公式解决问题．

要证明$\tan 50^\circ<\sqrt 2$即证明$\cos 50^\circ>\dfrac 1{\sqrt 3}$，考虑到

$$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x,$$ 知$\cos 50^\circ$是三次方程 $$4x^3-3x+\dfrac {\sqrt 3}{2}=0$$ 的根，当$x=\dfrac 1{\sqrt 3}$时，方程左边小于零，所以$\cos 50^\circ>\dfrac 1{\sqrt 3}$．

方法二　利用正切函数图象的性质，因为$\tan 45^\circ=1,\tan 60^\circ=\sqrt 3$，所以

$$\tan 50^\circ<\dfrac 13\tan 60^\circ+\dfrac 23\tan 45^\circ=\dfrac {2+\sqrt 3}{3}<\sqrt 2.$$