已知f(x)=ax−m(m∈N∗),g(x)=lnxa,若对任意x∈N∗均有f(x)⋅g(x)⩾0,求实数a的取值范围.
分析与解 显然a>0,不等式即a(x−ma)⋅(lnx−lna)⩾0.先考虑x是实数的情形,上述不等式在ma和a之间(不包含端点)不成立.因此题意即在这两个数之间不存在正整数.
情形一 m=k2,k∈N∗.此时a只能取k.
情形二 k2<m<(k+1)2.此时因为a,ma的乘积为m,所以a,ma界于k,k+1之间,即{k⩽a⩽k+1,k⩽ma⩽k+1,从而有max{k,mk+1}⩽a⩽min{k+1,mk}.
综上所述,实数a的取值范围是{k,m=k2,k∈N∗,[max{k,mk+1},min{k+1,mk}],k2<m<(k+1)2,k∈N∗.
注 由上面的结论知,当m>k(k+1)时,a∈[mk+1,k+1];当m⩽k(k+1)时,a∈[k,mk].特别地,如果取m=2017>44⋅45,则a的取值范围是[201745,45].
为什么a,m/a在k和k+1之间