每日一题[1012]直线与抛物线

平面直角坐标系中$xOy$中，$P$是不在$x$轴上的一个动点，过$P$作抛物线$y^2=4x$的两条切线，切点设为$A,B$，且直线$PO\perp AB$于$Q$，$R$为直线$AB$与$x$轴的交点．
(1) 求证：$R$是定点；
(2) 求$\dfrac{PQ}{QR}$的最小值．

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分析与解　(1) 设$P(m,n)$，则$AB:ny=2(x+m)$，根据题意，直线$PO$与直线$AB$垂直，于是

$$\dfrac nm\cdot \dfrac 2n=-1,$$ 因此$m=-2$．进而$R(2,0)$为定点．

(2) 设直线$AB$的倾斜角为$\theta$，根据对称性，不妨设$\theta$为锐角．

法一　过$P$作$x$轴的垂线，设垂足为$H$，则$\triangle OPH$与$\triangle ORQ$相似，于是

$$\begin{split} \dfrac{PQ}{QR}=&\dfrac{PO+OQ}{QR}\\=&\dfrac{\dfrac{2}{\sin\theta}+2\sin\theta}{2\cos\theta}\\=&\dfrac{3-\cos2\theta}{\sin2\theta},\end{split}$$ 令右侧代数式为$t$，则 $$t\sin2\theta+\cos2\theta=3,$$ 于是 $$\sqrt{1+t^2}\geqslant 3,$$ 解得$t\geqslant 2\sqrt 2$，等号当$\theta=\dfrac 12\arctan 2\sqrt 2$时取得．因此所求的最小值为$2\sqrt 2$．

法二　此时有直线$AB$的斜率

$$\tan\theta=\dfrac 2n.$$ 而$PQ$为点$P$到直线$AB$的距离 $$PQ=\dfrac{n^2+8}{\sqrt{4+n^2}},$$ 因此 $$\begin{split} \dfrac{PQ}{QR}=&\dfrac{PQ}{OR}\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}\\=&\dfrac{n^2+8}{2\sqrt{4+n^2}}\cdot \sqrt{\dfrac 4{n^2}+1}\\=&\dfrac n2+\dfrac 4n\geqslant 2\sqrt 2,\end{split}$$ 等号当$n=2\sqrt 2$时取得．因此所求的最小值为$2\sqrt 2$．

法三　因为 $m=-2$，所以直线 $PO$ 的斜率 $k_{1}=-\dfrac n2$，直线 $PR$ 的斜率 $k_{2}=-\dfrac n4$．

设 $\angle OPR=\alpha$，则 $\alpha$ 为锐角，且

$$\begin{split}\dfrac {PQ}{QR}&=\dfrac {1}{\tan \alpha}=\left|\dfrac {1+k_1k_2}{k_1-k_2}\right|\\&=\dfrac {8+n^2}{2|n|}\geqslant \dfrac {2\sqrt {8\cdot n^2}}{2|n|}\\&=2\sqrt 2,\end{split}$$ 当 $n=\pm 2\sqrt 2$ 时，$\dfrac {PQ}{QR}$ 取到最小值，为 $2\sqrt 2$．