每日一题[983]特征根法

已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=\left(\sqrt 2+1\right)^n-\left(\sqrt 2-1\right)^n$($n\in\mathbb N^*$)，则$\left[a_{2017}\right]$的个位数字是______．

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分析与解　根据题意，有$a_1=2$，$a_2=4\sqrt 2$，$a_3=14$，且

$$a_{2n+1}=\left(\sqrt 2+1\right)\cdot \left(3+2\sqrt 2\right)^n-\left(\sqrt 2-1\right)\cdot \left(3-2\sqrt 2\right)^n,$$ 因为$3+2\sqrt 2$与$3-2\sqrt 2$是方程$x^2-6x+1=0$的根，由特征根法知 $$a_{2n+3}=6a_{2n+1}-a_{2n-1},$$ 于是数列$\{a_n\}$中的奇数项的尾数分别为 $$\underbrace{2,4,2,8,6,8},\underbrace{2,4,2,8,6,8},\cdots,$$ 于是 $$\left[a_{2017}\right]=\left[a_1\right]=2.$$

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特征根法是求数列通项公式的一种重要方法，下面给出一道思考练习题：

已知$x+\dfrac 1x=\dfrac{\sqrt 5+1}2=2\cos\dfrac {\pi}5$，求$x^{2000}+\dfrac{1}{x^{2000}}$的值．

正确答案是$2$．

解　设$a_n=x^n+\dfrac{1}{x^n}$，$n\in\mathbb N^*$，则有

$$a_{n+2}=a_{n+1}\cdot a_1-a_n,$$ 对应的特征方程为 $$x^2-\dfrac{\sqrt 5+1}2x+1=0,$$ 因为$\dfrac {1+\sqrt 5}2=2\cos\dfrac {\pi}5$，于是其特征根为$\cos \dfrac{\pi}5\pm {\rm i}\sin\dfrac{\pi}5$．进而可得 $$a_n=\left(\cos \dfrac{\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{\pi}5\right)^n+\left(\cos \dfrac{\pi}5- {\rm i}\sin\dfrac{\pi}5\right)^n=2\cos\dfrac{n\pi}5,$$ 因此原式的值为 $$a_{2000}=2\cos\left(400\pi\right)=2.$$