每日一题[972]极值的存在性

已知函数$f(x)=(x-a)^2\ln x$，$a\in\mathbb R$．
(1) 若$a=3\sqrt{\rm e}$，求函数$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$的单调区间；
(2) 若函数$f(x)$既有极大值，又有极小值，求实数$a$的取值范围．

分析与解　(1) 函数$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\dfrac{\left(x-3\sqrt{\rm e}\right)\left(x\ln x+x+3\sqrt{\rm e}\ln x-3\sqrt{\rm e}\right)}{x^2},$$ 设$\varphi(x)=x\ln x+x+3\sqrt{\rm e}\ln x-3\sqrt{\rm e}$，则其导函数 $$\varphi'(x)=\ln x+\dfrac{3\sqrt{\rm e}}x+2>1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{3\sqrt{\rm e}}x+2>0,$$ 且注意到$\varphi(\sqrt{\rm e})=0$，因此可得函数$g(x)$在$\left(0,\sqrt{\rm e}\right)$上单调递增；在$\left(\sqrt{\rm e},3\sqrt{\rm e}\right)$上单调递减；在$\left(3\sqrt{\rm e},+\infty\right)$上单调递增．

(2)题意即$f'(x)$有两种变号零点(由负到正，由正到负）.

函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x-a)(x+2x\ln x-a)}{x}.$$ 设$\mu(x)=x+2x\ln x$，则其导函数 $$\mu'(x)=3+2\ln x,$$ 于是函数$\mu(x)$在$\left(0,{\rm e}^{-\frac 32}\right)$上单调递减；在$\left({\rm e}^{-\frac 32},+\infty\right)$上单调递增．注意到 $$\lim_{x\to 0}\mu(x)=0,\lim_{x\to +\infty}\mu(x)=+\infty,$$ 且当$a=1$时，$\mu(x)=a$的解恰为$a$，因此实数$a$的取值范围是 $$\left(\mu\left({\rm e}^{-\frac 32}\right),0\right)\cup(0,1)\cup (1,+\infty),$$ 也即$\left(-2{\rm e}^{-\frac 32},0\right)\cup(0,1)\cup (1,+\infty)$．

注　第(2)问中，因为函数$\mu(x)-a=x+2x\ln x-a$先减后增，且最小值为$\mu\left(\rm e^{-\frac 32}\right)-a$，对$a$进行讨论：若$a\leqslant 0$，则$x-a>0$，从而有 $$-a>0,\mu\left(\rm e^{-\frac 32}\right)-a<0.$$ 若$a>0$，则$x-a$在$(0,a)$上为负，在$(a,+\infty)$上为正；此时$-a<0$，所以$\mu(x)-a$只有一个零点，只要该零点不为$a$即可保证$f'(x)$有两种变号零点，得到$a\ne 1$．