每日一题[971]代数式的形

已知$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则

$$\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x+\tan x}+\dfrac{\tan x+\cot x}{\cos x+\tan x}+\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x+\cot x}+\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x+\cot x}$$ 的最小值为_______．

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正确答案是$4$．

分析与解　根据题意，设原式为$M$，由柯西不等式知

$$\begin{split}&\left(\sin x+\cos x\right)\cdot \left(\dfrac{1}{\sin x+\tan x}+\dfrac{1}{\cos x+\cot x}\right)\\&\geqslant \dfrac{4\left(\sin x+\cos x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x},\end{split}$$ 同时 $$\begin{split}&\left(\tan x+\cot x\right)\left(\dfrac{1}{\cos x+\tan x}+\dfrac{1}{\sin x+\cot x}\right)\\&\geqslant \dfrac{4\left(\tan x+\cot x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x},\end{split}$$ 两式相加得 $$M\geqslant\dfrac{4\left(\sin x+\cos x\right)+4\left(\tan x+\cot x\right)}{\sin x+\cos x+\tan x+\cot x}=4.$$ 等号当$x=\dfrac{\pi}4$时取得．因此所求的最小值为$4$．

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下面给出一道练习：

已知$x,y,z>0$，$A=\sqrt{x+2}+\sqrt{y+5}+\sqrt{z+10}$，$B=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$，则$A^2-B^2$的最小值为_______．

正确答案是$36$．

解　设$X=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$，$Y=\sqrt{y+5}+\sqrt{y+1}$，$Z=\sqrt{z+10}+\sqrt{z+1}$，则有

$$\begin{split}A^2-B^2&=(A+B)(A-B)\\&=\left(X+Y+Z\right)\left(\dfrac 1X+\dfrac 4Y+\dfrac 9Z\right)\\&\geqslant (1+2+3)^2\\&=36,\end{split}$$ 等号当$X:Y:Z=1:2:3$时取得．因此所求的最小值为$36$．