每日一题[964]参数转化

已知$f(x)=x-\dfrac 1x-a\ln x$，其中$a\in \mathbb R$．
(1) 求$f(x)$的单调区间；
(2) 当$a\in\left[\dfrac 52,\dfrac{17}4\right]$时，设$f(x)$的极大值为$M$，极小值为$N$，求$M-N$的取值范围．

分析与解    (1) 函数$f(x)$的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2-ax+1}{x^2}.\]
情形一    $a\leqslant 2$．此时$f(x)$的单调递增区间是$(0,+\infty)$．

情形二    $a>2$．此时$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,x_1\right)$ 和 $\left(x_2,+\infty\right)$ 单调递减区间是 $ \left(x_1,x_2\right)$，其中\[x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}.\]

(2) 利用第(1)小题的结果，设关于$x$的方程\[a=x+\dfrac 1x\]的两根为$x_1,x_2$且$x_1<x_2$，那么有\[x_1+x_2=a,x_1x_2=1,\]且$x_2$的取值范围是$[2,4]$．此时\[\begin{split}M-N&=f(x_1)-f(x_2)\\&=\left(x_1-\dfrac 1{x_1}-a\ln x_1\right)-\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}-a\ln x_2\right)\\&=x_1-x_2+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}+a\ln\dfrac{x_2}{x_1}\\&=2\left[\dfrac{1}{x_2}-x_2+\left(x_2+\dfrac 1{x_2}\right)\ln x_2\right]
,\end{split}\]其中用到了$x_1=\dfrac{1}{x_2}$且$a=x_2+\dfrac{1}{x_2}$．设函数\[\varphi(x)=\dfrac 1x-x+\left(x+\dfrac 1x\right)\ln x,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{\left(x^2-1\right)\ln x}{x^2}\geqslant 0,\]于是$\varphi(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此所求的取值范围是$\left[2\varphi(2),2\varphi(4)\right]$，即$$\left[5\ln 2-3,17\ln 2-\dfrac{15}2\right].$$