每日一题[962]截距的范围

已知抛物线$x^2=4y$的焦点为$F$，点$A,B,C$为该抛物线上不同的三点，且满足$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$，若直线$AB$存在截距$m$，求$m$的取值范围．

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正确答案是$\left(-\dfrac 12,1\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right]$．

分析与解    设$A\left(2a,a^2\right)$，$B\left(2b,b^2\right)$，$C\left(2c,c^2\right)$，则由题意可得

$$\begin{cases}a+b+c=0,\\ a^2+b^2+c^2=3,\end{cases}$$ 进而 $$\begin{cases}a+b=-c,\\ a^2+b^2=3-c^2.\end{cases}$$ 另一方面，有 $$m=\dfrac{2a\cdot b^2-2b\cdot a^2}{2a-2b}=-ab,$$ 且$a\ne b$．这样就有 $$2ab=(a+b)^2-\left(a^2+b^2\right)=2c^2-3\geqslant -3,$$ 且 $$6ab< (a+b)^2+\left(a^2+b^2\right)=3,$$ 于是 $$-\dfrac 12< -ab\leqslant \dfrac 32,$$ 且当$a\to b$时，$-ab\to -\dfrac 12$；当$(a,b,c)=\left(\dfrac{\sqrt 6}2,-\dfrac{\sqrt 6}2,0\right)$时，$-ab=\dfrac 32$．

另一方面有$a\ne c$，而当$a=c$时，有$b=-2c$，此时有$c^2=\dfrac 12$，$m=-ab=-2c^2=1$，当$m=1$时，容易得到$c=a$或$c=b$，故舍去，所以$m\ne 1$．

综上知$m$的取值范围是$\left(-\dfrac 12,1\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right]$．