每日一题[957]对数平均值不等式

已知函数$f(x)=x\ln x-\dfrac a2x^2-x$有两个极值点$x_1,x_2$，求证：$\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}>2a{\rm e}$．

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分析与解　函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\ln x-ax,$$ 于是 $$\ln x_1-ax_1=\ln x_2-ax_2=0,$$ 即 $$\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=a.$$ 令$\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},$$ 于是可得$0<a<\dfrac{1}{\rm e}$，且$x_1,x_2$分别在$x={\rm e}$的两侧．因此 $$\begin{split}\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}&=\dfrac{1}{ax_1}+\dfrac{1}{ax_2} \\&=\dfrac{x_1+x_2}{2}\cdot \dfrac{2}{ax_1x_2}\\&> \dfrac{2}{a\sqrt{x_1x_2}} \\&> \dfrac 2a\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}\\&= 2>2a{\rm e},\end{split}$$ 原不等式得证．

注　也可以在函数$\varphi(x)=\dfrac {\ln x}x$中，令$t=\dfrac 1{\ln x}$，从而得到$t_1=\dfrac 1{\ln {x_1}}$与$t_2=\dfrac 1{\ln{x_2}}$为函数

$$h(t)=\dfrac 1t\cdot{\rm e}^{-\frac 1t},$$ 的两个零点，通过证明 $$h(t)-h(2-t)>0,t>1,$$ 得到$t_1+t_2>2>2a{\rm e}$．