每日一题[955]建立对应关系

已知数列$\{a_n\}$，$a_0=0$，对任意正整数$n$都有$\left|a_n-a_{n-1}\right|=2^{n-1}$，$m$是给定的正整数，求$a_m$的所有可能取值．

分析与解　$a_m$的所有可能取值是

$$\left\{2k-1\mid -2^{m-1}<k\leqslant 2^{m-1},k\in\mathbb Z\right\},$$ 证明如下．

显然，$a_m$必然为奇数．考虑到

$$|a_m|\leqslant 2^0+2^1+\cdots+2^{m-1}=2^m-1,$$ 而在$-\left(2^{m}-1\right)$和$2^{m}-1$之间(包括两者)的奇数为$2^m$个．记 $$x_n=\dfrac{a_n-a_{n-1}}{2^{n-1}},n\in\mathbb N^*,$$ 则每一个有序数组 $$\left(x_1,x_2,\cdots,x_m\right),\ x_i\in\{-1,1\}$$ 对应一个$a_m$，这样的有序数组有$2^m$个(因为每一位均为$1$或$-1$)．因此只需要证明不同的有序数组对应的数列$\{a_n\}$中的第$m$项必然不同．设 $$\begin{split}\left(x_1,x_2,\cdots,x_m\right)\to a_m,\\\left(x_1',x_2',\cdots,x_m'\right)\to a_m',\end{split}$$ 则 $$a_m-a_m'=\left(x_m-x_m'\right)\cdot 2^{m-1} +\cdots+\left(x_1-x_1'\right)\cdot 2^0,$$ 设两个有序数组从第$m$位计算第一处不一致的位置为第$p$位，那么考虑到 $$\begin{split}\left|x_p-x_p'\right|\cdot 2^{p-1}&=2^p\\&>2^{p-1}+2^{p-2}+\cdots+2^1,\\&\geqslant \left|x_{p-1}-x_{p-1}'\right|\cdot 2^{p-2}+\left|x_{p-2}-x_{p-2}'\right|\cdot 2^{p-3}+\cdots+\left|x_1-x_1'\right|\cdot 2^0,\end{split}$$ 因此$x_m-x_m'$的符号由$x_p-x_p'$决定，进而$x_m\ne x_m'$．这样就证明了有序数对与数列一一对应．因此$a_m$的所有可能取值是 $$\left\{2k-1\mid -2^{m-1}<k\leqslant 2^{m-1},k\in\mathbb Z\right\}.$$ 注　$a_m$的所有可能取值为 $$a_m=\pm 1\pm 2\pm 4\pm 8\pm\cdots\pm 2^{m-1},$$ 其中$m$个$\pm$号的每一种取法唯一对应一个$a_m$的值，$a_m$恰好取到$[-(2^m-1),2^m-1]$中的所有奇数．