每日一题[954]最小距离

已知抛物线$x^2=2py$($p>0$)的弦$AB$的中点为$M$，弦长为$l$，求$M$到$x$轴距离$h$的最小值．

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分析与解　设$A\left(2pa,2pa^2\right)$，$B\left(2pb,2pb^2\right)$则

$$\left(2pa-2pb\right)^2+\left(2pa^2-2pb^2\right)^2=l^2,$$ 即 $$m^2\left(1+n^2\right)=\dfrac{l^2}{4p^2},$$ 其中$m=\left|a-b\right|$，$n=\left|a+b\right|$．而 $$\begin{split}h&=\dfrac p2\left(2a^2+2b^2\right)\\&=\dfrac p2\left(m^2+n^2\right)\\&=\dfrac p2\left(\dfrac{\dfrac{l^2}{4p^2}}{1+n^2}+1+n^2\right)-\dfrac p2,\end{split}$$ 其中$n\geqslant 0$，$n^2+1\geqslant 1$．于是当$l\geqslant 2p$时，$h$的最小值为$\dfrac l2-\dfrac p2$，当$n=\sqrt{\dfrac l{2p}-1}$时取得；当$0<l<2p$时，$h$的最小值为$\dfrac{l^2}{8p}$，当$n=0$时取得．

注　设抛物线的焦点为$F$，则

$$h+\dfrac 12p=\dfrac 12\left(|FA|+|FB|\right)\geqslant \dfrac 12|AB|=\dfrac 12l,$$ 等号当$F\in AB$时取得．因此当$l\geqslant 2p$时，所求的最小值为$\dfrac 12l-\dfrac 12p$．