每日一题[917]函数值域问题两则

求下列函数的值域：

(1) $y=2\sqrt{x^2+1}-x$；

(2) $y=\sqrt{4x^2-8x+3}+2x$．

正确答案是(1) $\left[\sqrt 3,+\infty\right)$；(2)$[1,2)\cup [3,+\infty)$．

分析与解　(1) 根据题意，有 $$\begin{cases}(x+y)^2=4\left(x^2+1\right),\\ x+y\geqslant 0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases}3x^2-2yx+4-y^2=0,\\ x+y\geqslant 0,\end{cases}$$ 由判别式可得 $$\Delta=4y^2-4\cdot 3\cdot\left(4-y^2\right)=16\left(y^2-3\right)\geqslant 0,$$ 显然有$y>2|x|-x\geqslant 0$，所以$y\geqslant \sqrt 3$．而当$y\geqslant \sqrt 3$时，因为方程的两根之和为$\dfrac 23y>0$，所以必存在正根$x$满足$x+y\geqslant 0$，于是所求的值域为$\left[\sqrt 3,+\infty\right)$．

(2) 根据题意，有 $$\begin{cases}(y-2x)^2=4x^2-8x+3,\\ y-2x\geqslant 0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases}x=\dfrac{y^2-3}{4(y-2)},\\ x\leqslant \dfrac 12y,\end{cases}$$ 于是 $$\dfrac{y^2-3}{4(y-2)}\leqslant\dfrac y2,$$ 即 $$\dfrac{(y-1)(y-3)}{y-2}\geqslant 0,$$ 于是所求的值域为$[1,2)\cup [3,+\infty)$．