每日一题[915]方程解的个数

已知函数$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$，则关于$x$的方程$\left|f(x+1)-f(x)\right|=1$的实数解的个数为_______．

正确答案是$2$．

分析与解　根据题意，有 $$f(x+1)-f(x)=\dfrac{x+2}{(x+1)^2+1}-\dfrac{x+1}{x^2+1}=\dfrac{-x^2-3x}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2},$$ 于是问题等价于求方程 $$x^4+2x^3+4x^2+5x+2=0$$ 和方程 $$x^4+2x^3+2x^2-x+2=0$$ 的实数解个数之和．

第一个方程即 $$(x+1)\left(x^3+x^2+3x+2\right)=0,$$ 考虑到函数$y=x^3+x^2+3x+2$为$\mathbb R$上的单调递增函数，因此第一个方程共有$2$个实数解．

对于第二个方程，考虑到当$x\geqslant 0$时，有 $$2x^2-x+2>0,$$ 于是该方程无解；当$x<0$时，由于 $$x^4+2x^3+2x^2=x^2\left[(x+1)^2+1\right]>0,$$ 于是该方程亦无解．因此第二个方程共有$0$个实数解．

综上所述，所求的方程的实数解的个数为$2$．