每日一题[914]根号复根号

已知$a,b\geqslant 0$，$a+b=1$，则$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$的最大值是______，最小值是_______．

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正确答案是$3\sqrt 3+4\sqrt{10}$，$5\sqrt{11}$．

分析与解　法一　推测最大值在边界处取得．用割线放缩，考虑到

$$\begin{aligned} \sqrt{1+2a^2}&\leqslant \left(\sqrt 3-1\right)a+1,\\\sqrt{40+9b^2}&\leqslant \left(7-\sqrt{40}\right)b+\sqrt{40},\\\end{aligned}$$ 等号当$a,b\in\{0,1\}$时取得．于是有 $$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}\leqslant 3\left(\sqrt 3-1\right)a+3+ 2\left(7-\sqrt{40}\right)b+2\sqrt{40},$$ 考虑到$3(\sqrt{3}-1)>2(7-\sqrt{40})$，于是当$(a,b)=(1,0)$时右边取得最大值．因此所求的最大值为$3\sqrt 3+4\sqrt{10}$．

考虑用切线放缩处理最小值．考虑到

$$\begin{aligned}\sqrt{1+2a^2}&\geqslant \dfrac{2\lambda }{\sqrt{1+2\lambda ^2}}(a-\lambda)+\sqrt{1+2\lambda^2},\\\sqrt{40+9b^2}&\geqslant \dfrac{9\mu}{\sqrt{40+9\mu^2}}(b-\mu)+\sqrt{40+9\mu^2},\\\end{aligned}$$ 等号当$(a,b)=(\lambda,\mu)$时取得．令 $$\begin{cases}\lambda+\mu=1,\\ 3\cdot \dfrac{2\lambda }{\sqrt{1+2\lambda ^2}}=2\cdot \dfrac{9\mu}{\sqrt{40+9\mu^2}},\end{cases}$$ 解得$\lambda=\dfrac 13$，$\mu=\dfrac 23$，从而可得 $$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}\geqslant 3\sqrt{1+2\left(\dfrac 13\right)^2}+2\sqrt{40+9\left(\dfrac 23\right)^2}=5\sqrt{11},$$ 等号当$(a,b)=\left(\dfrac 13,\dfrac 23\right)$时取得．因此所求的最小值为$5\sqrt{11}$．

法二　令

$$f(x)=3\sqrt{1+2x^2}+2\sqrt{40+9(1-x)^2}=3\sqrt{2x^2+1}+2\sqrt{9x^2-18x+49},\ 0\leqslant x\leqslant 1,$$ 则 $$f'(x)=6\cdot\dfrac{x\sqrt{9x^2-18x+49}+(3x-3)\sqrt{2x^2+1}}{\sqrt{\left(2x^2+1\right)\left(9x^2-18x+49\right)}}.$$
注意到
$$\begin{align*}&x\sqrt{9x^2-18x+49}+(3x-3)\sqrt{2x^2+1}<0\\\Longleftrightarrow{}&x^2\left(9x^2-18x+49\right)<9\left(x^2-2x+1\right)\left(2x^2+1\right)\\\Longleftrightarrow{}&9x^4-18x^3-22x^2-18x+9>0, \end{align*}$$

当$x=0$时，$9x^4-18x^3-22x^2-18x+9>0$成立．

当$0<x \leqslant 1$时，令$t=x+\dfrac{1}{x}\in[2,+\infty)$，则

$$\begin{align*}&9x^4-18x^3-22x^2-18x+9>0\\\Longleftrightarrow {}&9t^2-18t-40>0\\\Longleftrightarrow {}&(3t-10)(3t+4)>0\\\Longleftrightarrow {}&t>\dfrac{10}{3}\\\Longleftrightarrow {}&0<x<\dfrac{1}{3}.\end{align*}$$

故可以列表如下：

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\left(0,\dfrac{1}{3}\right)&\dfrac{1}{3}&\left(\dfrac{1}{3},1\right)&1\\ \hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f(x)&17&\searrow&5\sqrt{11}&\nearrow&3\sqrt{3}+4\sqrt{10}\\ \hline\end{array}$$ 因为$17<3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$，所以当且仅当$(a,b)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)$时，$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$取到最小值$5\sqrt{11}$；当且仅当$(a,b)=(1,0)$时，$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$取到最大值$3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$．