已知$a,b,c$是不全为$0$的实数，求证：$5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$．
证明 原不等式即\[5a^2+5b^2+5c^2-7ab+3bc-7ca>0,\]将左边看成关于$a$的二次多项式，其判别式\[\Delta_a=49(b+c)^2-4\cdot 5\cdot\left(5b^2+5c^2+3bc\right)=-51b^2+38bc-51c^2\leqslant 0,\]因此有\[5a^2+5b^2+5c^2-7ab+3bc-7ca\geqslant 0,\]且等号取得的条件是$a=b=c=0$，于是原不等式得证．
兰琦老师，请教这一道题目如果像我这样设参数方程以后怎么把①代入②消元求最值?
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先将表达式看成关于$\theta$的函数，把$\alpha$看成参数，得到关于用$\alpha$表达的最值$M(\alpha)$后，求这个函数$M(\alpha)$关于$\alpha$的最值．
谢谢老师
那这里的表达式①的限制条件怎么使用?