每日一题[99] 两次调整

已知$b,c,d\in\mathcal R$，函数$f(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12bx^2+cx+d$在$(0,1)$上既有极大值又有极小值，则$c^2+(1+b)c$的取值范围是（       ）

A．$\left(0,\dfrac 1{16}\right)$

B．$\left(0,\dfrac 1{16}\right]$

C．$\left(0,\dfrac 14\right)$

D．$\left[0,\dfrac 14\right)$

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正确的答案是A．

事实上，很容易将原问题为转化为：

已知函数$g(x)=x^2+bx+c$在区间$(0,1)$上有两个不等实根，求$c^2+(1+b)c$的取值范围．

不难发现

$$c^2+(1+b)c=g(c)=g(0)\cdot g(1),$$ 仔细思考后采用后面的变形方式．

显然$g(0)\cdot g(1) > 0$，且可以无限趋近于$0$；

另一方面，设

$$g(x)=\left(x-m\right)^2+h,h<0$$ 则有 $$g(0)\cdot g(1)<m^2\cdot \left(1-m\right)^2\leqslant \dfrac 1{16},$$ 且$g(0)\cdot g(1)$可以无限趋近于$\dfrac 1{16}$．

综上，正确的答案是 A．

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2015年11月4日补充更直接的设参方法，参见《每日一题[289] 壮士断腕》．