每日一题[897]配配对

已知$\displaystyle \prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =m^n$，其中$m,n\in\mathbb N^*$且$m,n\geqslant 2$，求$m+n$的值．（提示：有三倍角公式$\sin 3x=4\sin x\cdot \sin(60^\circ-x)\cdot \sin(60^\circ +x)$．)

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分析与解　注意到三倍角公式

$$\sin 3x=4\sin x\cdot \sin(60^\circ-x)\cdot \sin(60^\circ +x),$$ 记 $$\sin x_1\cdot \sin x_2\cdots \sin x_n=(x_1,x_2,\cdots,x_n),$$ 则 $$\begin{split}\prod_{k=1}^{45}\sin (2k-1)^\circ&=1^\circ,3^\circ,5^\circ,\cdots,89^\circ)\\&=(1^\circ,59^\circ,61^\circ)\cdot(3^\circ,57^\circ,63^\circ)\cdots (29^\circ,31^\circ,89^\circ)\\&=2^{-30}\cdot (3^\circ,9^\circ,15^\circ,\cdots,87^\circ)\\&=2^{-30}\cdot (3^\circ,57^\circ, 63^\circ)\cdot (9^\circ,51^\circ,69^\circ)\cdots(27^\circ,33^\circ,87^\circ)\\&=2^{-30}\cdot 2^{-10}\cdot (9^\circ,27^\circ,45^\circ,63^\circ,81^\circ)\\&=2^{-40}\cdot \sin 9^\circ\cdot \sin 27^\circ\cdot \sin 45^\circ\cdot \sin 63^\circ\cdot \sin 81^\circ\\&=2^{-42}\cdot \sin 18^\circ\cdot \sin 54^\circ\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\\&=2^{-42\frac 12}\cos 36^\circ\cdot \cos 72^\circ\\&=2^{-44\frac 12} ,\end{split}$$ 于是 $$\prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =\dfrac{1}{\left[\prod_{k=1}^{45}\sin (2k-1)^\circ\right]^2}=2^{89},$$ 因此$(m,n)=(2,89)$，$m+n$的值为$91$．