每日一题[888]巧妙转化条件

已知$a,b\in \mathbb R$且$0\leqslant a+b\leqslant 1$，函数$f(x)=x^2+ax+b$在区间$\left[-\dfrac 12,0\right]$上至少存在一个零点，求$a-2b$的取值范围．

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正确答案是$[0,1]$．

分析与解　如图，考虑到$f(1)=1+a+b$，而

$$f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 14-\dfrac 12(a-2b),$$ 因此问题可以转化为函数$y=x^2+ax+b$的图象和线段$AB$和线段$OC$都有公共点，求$f\left(-\dfrac 12\right)$的取值范围，其中$A(1,1)$，$B(1,2)$，$C\left(-\dfrac 12,0\right)$．

由图可知$f\left(-\dfrac 12\right)$的取值范围是$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$，因此可得$a-2b$的取值范围是$[0,1]$，证明如下．

首先，当$(a,b)=(1,0)$时，$f(0)=0$，此时$a-2b=1$；当$(a,b)=(0,0)$时，$f(0)=0$，此时$a-2b=0$．结合连续性可知$a-2b$可以取遍$[0,1]$内的所有实数；

其次，若$a-2b>1$，则$a-2b>a+b$，从而$b<0$，进而$a>0$．此时

$$\begin{aligned} f\left(-\dfrac 12\right)&=\dfrac 14-\dfrac 12(a-2b)<0,\\f(0)&=b<0,\end{aligned}$$ 因此函数$f(x)$在$\left[-\dfrac 12,0\right]$上没有零点，不符合题意；

最后，若$a-2b<0$，则$a-2b<a+b$，从而$b>0$，$a<1$，此时$f(x)$的判别式

$$\Delta=a^2-4b,$$ 当$a>0$时，有$a^2<a$，所以$\Delta <a-4b<a-2b<0$，函数$f(x)$在$\left[-\dfrac 12,0\right]$上没有零点，不符合题意．

当$a\leqslant 0$时，$f(x)$的对称轴$x=-\dfrac a2\geqslant 0$，又$f(0)=b>0$，所以$f(x)$在$\left[-\dfrac 12,0\right]$上没有零点，不符合题意．

综上所述，$a-2b$的取值范围是$[0,1]$．

其他方法　设$a+b=3m,a-2b=3n$，则有$\begin{cases} a=2m+n,\\b=m-n\end{cases}$，于是问题转化为函数

$$f(x)=x^2+(2m+n)x+(m-n)$$ 在$x\in\left[-\dfrac 12,0\right]$上有零点，$m\in\left[0,\dfrac 13\right]$，求$3n$的取值范围．

将参数$n$分离得到

$$n=\dfrac {x^2+2mx+m}{1-x}=\dfrac {x^2}{1-x}+\dfrac {2x+1}{1-x}\cdot m,$$ 求右边函数的值域：

先将右边看成以$x\in\left[-\dfrac 12,0\right]$为参数的，关于$m$的函数，记为$g(m)$，因为$\dfrac {2x+1}{1-x}\geqslant 0$，所以$g(m)$的最小值为$g(0)=\dfrac {x^2}{1-x}$，最大值为$g\left(\dfrac 13\right)=\dfrac {3x^2+2x+1}{3(1-x)}$．从而有

$$n\in\left[\dfrac {x^2}{1-x},\dfrac {3x^2+2x+1}{3(1-x)}\right],$$ 令$t=1-x\in\left[1,\dfrac 32\right]$，则有 $$y=\dfrac {x^2}{1-x}=t+\dfrac 1t-2\in\left[0,\dfrac 16\right],$$ 而 $$y=\dfrac {3x^2+2x+1}{3(1-x)}=\dfrac{3(t-1)^2+2(1-t)+1}{3t}=t+\dfrac 2t-\dfrac 83\in\left[2\sqrt 2-\dfrac 83,\dfrac 13\right],$$ 所以$n\in\left[0,\dfrac 13\right]$，从而$a-2b=3n\in[0,1]$．