每日一题[886]条条大路通罗马

在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，$C\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且$\triangle ABC$的面积为$2$，求$(c+a-b)(c+b-a)$的取值范围．

正确答案是$\left(8\sqrt 2-8,8\right)$．

分析与解　记$\triangle ABC$的面积为$S$，$(c+a-b)(c+b-a)$为$T$，则

$$\begin{aligned}S&=\dfrac 12ab\sin C,\\T&=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-\cos C),\end{aligned}$$

这样就有

$$\dfrac{T}{S}=\dfrac{4(1-\cos C)}{\sin C},$$ 接下来求$\dfrac{1-\cos C}{\sin C}$的取值范围．

方法一　由于

$$\dfrac{1-\cos C}{\sin C}=\dfrac{\sin\left(C+\dfrac{\pi}2\right)-1}{\cos\left(C+\dfrac{\pi}2\right)},$$ 该代数式的几何意义是单位圆在$\left(\dfrac{3\pi}4,{\pi}\right)$部分的圆弧上的点与点$(0,1)$连线的斜率：

随着$C$的增大而递增，进而其取值范围是$\left(\sqrt 2-1,1\right)$．

方法二　由二倍角公式，可得

$$\dfrac{1-\cos C}{\sin C}=\dfrac{2\sin^2\dfrac C2}{2\sin\dfrac C2\cos\dfrac C2}=\tan\dfrac C2,$$ 取值范围为$\left(\sqrt 2-1,1\right)$．

方法三　该关于$C$的函数$\varphi(C)$的导函数

$$\varphi'(C)=\dfrac{1-\cos C}{\sin^2C},$$ 因此函数$\varphi(C)$在区间$\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$内单调递增，从而$\dfrac{1-\cos C}{\sin C}$的取值范围是$\left(\sqrt 2-1,1\right)$．

最后可得$T$的取值范围是$\left(8\sqrt 2-8,8\right)$．