每日一题[884]三角形的倾斜度

设$\triangle ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a\leqslant b\leqslant c$，定义$\triangle ABC$的倾斜度 $$t=\max\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}\cdot \min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc,\dfrac ca\right\}.$$
(1) 若$\triangle ABC$为等腰三角形，求$\triangle ABC$的倾斜度；

(2) 若$a=1$，求$t$的取值范围．

正确答案是(1) $1$；(2) $\left[1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$．

分析与解　(1)若$\triangle ABC$为等腰三角形，先设三边分别为$x,x,y,x\leqslant y$，则 $$t=\max\left\{1,\dfrac xy,\dfrac yx\right\}\cdot \min\left\{1,\dfrac xy,\dfrac yx\right\}=\dfrac yx\cdot\dfrac xy=1.$$ 若三边分别为$x,y,y,x\leqslant y$，则 $$t=\max\left\{\dfrac xy,1,\dfrac yx\right\}\cdot \min\left\{\dfrac xy,1,\dfrac yx\right\}=1.$$
(2) 若$a=1$，则 $$t=\max\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\} \cdot \min\left\{\dfrac 1b,\dfrac bc,c\right\},$$ 考虑三者两两相等，得到关于$c$的讨论分界点为$\dfrac 1b,\sqrt b,b^2$．考虑到$1\leqslant b\leqslant c$，最终得到的讨论分界点为$b^2$．

情形一　$b\leqslant c < b^2$．此时 $$t=c\cdot \dfrac 1b=\dfrac cb,$$ 考虑到$c<1+b$，于是 $$1\leqslant t<\min \left\{b,\dfrac 1b+1\right\}=\dfrac{1+\sqrt 5}2.$$

情形二　$c\geqslant b^2$．此时 $$t=c\cdot \dfrac bc=b,$$ 考虑到$c<1+b$，于是 $$t+1>t^2,$$ 解得 $$1\leqslant t<\dfrac{1+\sqrt 5}2.$$

综上所述，$t$的取值范围是$\left[1,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$．

其他方法　由题意知$\dfrac ab\leqslant 1,\dfrac bc\leqslant 1,\dfrac ca\geqslant 1$，所以 $$t=\dfrac ca\cdot\min\left\{\dfrac ab,\dfrac bc\right\}=\min\left\{\dfrac ca\cdot\dfrac ab,\dfrac ca\cdot\dfrac bc\right\}=\min\left\{\dfrac cb,\dfrac ba\right\}\geqslant 1.$$

(1)由题意知$a=b$或$b=c$，所以$t=1$；

(2)$a=1$时，$t=\min\left\{\dfrac cb,b\right\}$，而$1\leqslant b\leqslant c< 1+b$，所以$t<\min\left\{\dfrac {1+b}b,b\right\}$．

记$f(b)=\min\left\{\dfrac {1+b}b,b\right\}$，在坐标系$bOy$中画出函数$y=\dfrac {1+b}{b},y=b$的图象：

当$\dfrac {1+b}{b}=b$，即$b=\dfrac {1+\sqrt 5}{2}$时，$f(b)$有最大值$b=\dfrac {1+\sqrt 5}{2}$，所以$t\in\left[1,\dfrac {1+\sqrt 5}{2}\right)$．