每日一题[96] 三角代数式求值

（2012年复旦·自主招生）$\arctan\dfrac 13+\arctan\dfrac 15+\arctan\dfrac 17+\arctan\dfrac 18=$_______．

---

方法一

由于

$$\tan\left(\arctan\dfrac 13+\arctan\dfrac 15\right)=\dfrac{\dfrac 13+\dfrac 15}{1-\dfrac 13\cdot\dfrac 15}=\dfrac 47,$$ 而 $$\tan\left(\arctan\dfrac 17+\arctan\dfrac 18\right)=\dfrac{3}{11},$$ 于是设原式为$A$，则 $$\tan A=\dfrac{\dfrac 47+\dfrac{3}{11}}{1-\dfrac 47\cdot\dfrac 3{11}}=1,$$ 进而可知 $$A=\dfrac{\pi}{4}.$$

方法二

原题即求复数

$$\begin{split}z_1&=3+{\mathrm i},\\z_2&=5+{\mathrm i},\\z_3&=7+{\mathrm i},\\z_4&=8+{\mathrm i},\end{split}$$ 的辐角主值之和，考虑它们的乘积 $$z_1z_2z_3z_4=650+650{\mathrm i},$$ 因此所求值为$\dfrac{\pi}{4}$．