每日一题[94] 有关max的不等式的处理技巧

 若$x,y>0$，证明：$\max\left\{x^y,y^x\right\}>\dfrac 12$．

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不妨设$x\leqslant y$．

当$y\geqslant 1$时，命题显然成立；

当$0<x\leqslant y<1$时，由于当$y\to x$时，$x^y$和$y^x$均趋于$x^x$，且有

$$x^y\leqslant x^x\leqslant y^x,$$ 因此只需要证明 $$x^x>\dfrac 12.$$

事实上，考虑到

$$\left(x^x\right)'=\left({\mathrm e}^{x\ln x}\right)'=x^x\left(1+\ln x\right),$$ 于是当$x=\dfrac{1}{\mathrm e}$时，$x^x$取得最小值为$\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)^{1/{\mathrm e}}$．

接下来证明

$$\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)^{1/{\mathrm e}}>\dfrac 12,$$ 用分析法，只需要证明 $$-\dfrac{1}{\mathrm e}>-\ln 2,$$ 也即 $$1<\ln 2^{\mathrm e}.$$

因此原命题得证．