若\(x,y>0\)，证明：\(\max\left\{x^y,y^x\right\}>\dfrac 12\)．
不妨设\(x\leqslant y\)．
当\(y\geqslant 1\)时，命题显然成立；
当\(0<x\leqslant y<1\)时，由于当\(y\to x\)时，\(x^y\)和\(y^x\)均趋于\(x^x\)，且有\[x^y\leqslant x^x\leqslant y^x,\]因此只需要证明\[x^x>\dfrac 12.\]
事实上，考虑到\[\left(x^x\right)'=\left({\mathrm e}^{x\ln x}\right)'=x^x\left(1+\ln x\right),\]于是当\(x=\dfrac{1}{\mathrm e}\)时，\(x^x\)取得最小值为\(\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)^{1/{\mathrm e}}\)．
接下来证明\[\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)^{1/{\mathrm e}}>\dfrac 12,\]用分析法，只需要证明\[-\dfrac{1}{\mathrm e}>-\ln 2,\]也即\[1<\ln 2^{\mathrm e}.\]
因此原命题得证．