若x,y>0,证明:max{xy,yx}>12.
不妨设x⩽y.
当y⩾1时,命题显然成立;
当0<x⩽y<1时,由于当y→x时,xy和yx均趋于xx,且有xy⩽xx⩽yx,因此只需要证明xx>12.
事实上,考虑到(xx)′=(exlnx)′=xx(1+lnx),于是当x=1e时,xx取得最小值为(1e)1/e.
接下来证明(1e)1/e>12,用分析法,只需要证明−1e>−ln2,也即1<ln2e.
因此原命题得证.
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