每日一题[880]对边描述的四面体

如图,四面体ABCD中,ABCD为对棱.设AB=aCD=b,且异面直线ABCD的距离为d,夹角为θ

(1)若θ=π2,且棱AB垂直于平面BCD,求四面体ABCD的体积;

(2) 当θ=π2时,证明:四面体ABCD的体积为一定值;

(3)求四面体ABCD的体积.


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分析与解 这是一个循序渐进的题目,可以依次解决,也可以直接解决问题⑶.

(1)如左图,在平面BCD中,作BMCDM,则BM=d

所以VABCD=13ABSBCD=13a12bd=16abd.


(2)如中图,过AAMCDM,连结BM,则CD平面ABM,从而平面AMB平面BCD,过MMNABN,则MN=dVABCD=13SAMBCD=16abd.

(3)如右图,将四面体补成平行六面体ABGHECFD,则ABCD的距离即平行六面体上下底面的距离.

在底面平行四边形ECFD中,EC=aCD=bsinDCE=sinθ
于是SECFD=2SDCE=212sinθab=absinθ,

所以VABCD=16VABGHECFD=16abdsinθ.

这个四面体的体积公式,在由对棱给出的四面体问题中经常应用,比如每日一题[275]GPS定位

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