如图,四面体ABCD中,AB和CD为对棱.设AB=a,CD=b,且异面直线AB与CD的距离为d,夹角为θ.
(1)若θ=π2,且棱AB垂直于平面BCD,求四面体ABCD的体积;
(2) 当θ=π2时,证明:四面体ABCD的体积为一定值;
(3)求四面体ABCD的体积.
分析与解 这是一个循序渐进的题目,可以依次解决,也可以直接解决问题⑶.
(1)如左图,在平面BCD中,作BM⊥CD于M,则BM=d.
所以VA−BCD=13⋅AB⋅S△BCD=13⋅a⋅12b⋅d=16abd.
(2)如中图,过A作AM⊥CD于M,连结BM,则CD⊥平面ABM,从而平面AMB⊥平面BCD,过M作MN⊥AB于N,则MN=d.VA−BCD=13S△AMB⋅CD=16abd.
(3)如右图,将四面体补成平行六面体ABGH−ECFD,则AB与CD的距离即平行六面体上下底面的距离.
在底面平行四边形ECFD中,EC=a,CD=b,sin∠DCE=sinθ,
于是SECFD=2S△DCE=2⋅12sinθ⋅ab=absinθ,
所以VA−BCD=16VABGH−ECFD=16abdsinθ.
这个四面体的体积公式,在由对棱给出的四面体问题中经常应用,比如每日一题[275]GPS定位.