每日一题[870]执果索因

设函数$f\left( x \right)$是定义在${\mathbb{R}}$上的奇函数，且对任意的${x_1}, {x_2} \in \left[ {1 ,a} \right]$，当${x_2} > {x_1}$时，总有$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) > 0$，则下列不等式一定成立的是__________（填上你认为正确的结论的序号）：

(1)$f\left( a \right) > f\left( 0 \right)$； 

(2)$f\left( {\dfrac{{1 + a}}{2}} \right) > f\left( {\sqrt a } \right)$；

(3)$f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - 3} \right)$； 

(4)$f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right)$．

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正确答案是(1)(2)(4)．

分析与解　由题意知$f(x)$在$[1,a]$上单调递增，且$f(1)>0$．

因为$f\left( 0 \right) = 0$，所以(1)正确；

因为$a > 1$时，$\dfrac{{1 + a}}{2} > \sqrt a$，所以(2)正确；

因为$f\left( x \right)$是奇函数，所以

$$f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( 3 \right),$$ 虽然$1<\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}} < 3$，但$a$与$3$的大小关系未知，所以(3)不正确；

因为$f\left( x \right)$是奇函数，所以

$$f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right) \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( a \right),$$ 而 $$\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}-1=\dfrac {2(a-1)}{a+1}>0,\dfrac {3a-1}{a+1}-a=-\dfrac {(a-1)^2}{a+1}<0,$$ 所以$1<\dfrac {3a-1}{a+1}<a$，所以(4)正确．