每日一题[869]存在性问题

已知$f(x) =\begin{cases}\lg \left( x + 1 \right) + 1 ,x \geqslant 0\\\lg \left( 1 - x \right) + 1 ,x < 0 \end{cases}$，若不等式$f\left( {ax - 1} \right) > f\left( {x - 2} \right)$在$\left[ {3,4} \right]$上有解，则实数$a$的取值范围为_________．

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正确答案是$a < 0$或$a > \dfrac{2}{3}$．

分析与解　如图，$f(x)$是偶函数，且在$[0,+\infty)$上单调递增：

所以

$$f\left( {ax - 1} \right) > f\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left| {ax - 1} \right| > \left| {x - 2} \right|.$$ 从而不等式$f\left( {ax - 1} \right) > f\left( {x - 2} \right)$在$\left[3,4\right]$上有解当且仅当存在$x\in [3,4]$，使得 $$\left| {ax - 1} \right| > \left| {x - 2} \right| \Leftrightarrow \left| {ax - 1} \right| > x - 2.$$ 所以 $$\begin{cases}ax - 1 > x - 2 \\ 3 \leqslant x \leqslant 4 \end{cases}$$ 或 $$\begin{cases}ax - 1 < 2 - x \\3 \leqslant x \leqslant 4 \end{cases}$$ 有解，即 $$\begin{cases}\left( {a - 1} \right)x + 1 > 0\\3 \leqslant x \leqslant 4 \end{cases}$$ 或 $$\begin{cases} \left( {a + 1} \right)x - 3 < 0 \\ 3 \leqslant x \leqslant 4 \\ \end{cases}$$ 有解，只需要考虑端点即可，即$3\left( {a - 1} \right) + 1 > 0$或$4\left( {a - 1} \right) + 1 > 0$或$3\left( {a + 1} \right) - 3 < 0$或$4\left( {a + 1} \right) - 3 < 0$有解，所以$a > \dfrac{2}{3}$或$a > \dfrac{3}{4}$或$a < 0$或$a <- \dfrac{1}{4}$，因此$a < 0$或$a > \dfrac{2}{3}$．

注　不等式$\left| {ax-1} \right| >|x-2|$在$[3,4]$上有解，也可以通过数形结合得到$a$的范围，如图：

当直线$y=ax-1$的斜率$a$满足$a>\dfrac 23$或$a<0$时，不等式有解（考虑在端点$x=3$处的函数值也可以）．