每日一题[868]摆正位置

已知三棱锥$S - ABC$的底面$ABC$为正三角形，点$A$在侧面$SBC$上的射影$H$是$\triangle SBC$的垂心，二面角$H - AB - C$为$30^\circ $，且$SA = 2$，则此三棱锥的体积为(　　)

A．$\dfrac{1}{2}$
B．$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
C．$\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$
D．$\dfrac{3}{4}$

正确答案是D．

分析与解　如图，设$S$在底面上的投影为$O$，延长$SH,BH$分别交$BC,SC$于$P,Q$两点，如图：因为$AH \perp $平面$SBC$，则平面$ABQ \perp$平面$SBC$；

由题意$H$ 为 $\triangle SBC$ 的垂心，则 $SC \perp BQ$，且平面$ABQ$与平面$ SBC$的交线为$BQ$，故 $SC \perp$平面$ABQ$，因此 $SC\perp AB$，所以$OC \perp AB$，同理有$AO\perp BC$，因此$O$为$\triangle ABC$的垂心，即中心．也即$S - ABC$为正三棱锥．

取$AB$的中点$M$，则$\angle QMC$为二面角$H - AB - C$的平面角，$\angle QMC = 30^\circ $，$\angle QCM = 60^\circ $．

于是$OC = SC\cdot\cos \angle QCM = 2 \cdot \cos 60^\circ = 1$，底面$\triangle ABC$边长为$\sqrt 3 $．

因此三棱锥体积为$\dfrac{3}{4}$．