已知三棱锥S−ABC的底面ABC为正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H−AB−C为30∘,且SA=2,则此三棱锥的体积为( )
A.12
B.√32
C.√34
D.34
正确答案是D.
分析与解 如图,设S在底面上的投影为O,延长SH,BH分别交BC,SC于P,Q两点,如图:因为AH⊥平面SBC,则平面ABQ⊥平面SBC;
由题意H 为 △SBC 的垂心,则 SC⊥BQ,且平面ABQ与平面SBC的交线为BQ,故 SC⊥平面ABQ,因此 SC⊥AB,所以OC⊥AB,同理有AO⊥BC,因此O为△ABC的垂心,即中心.也即S−ABC为正三棱锥.
取AB的中点M,则∠QMC为二面角H−AB−C的平面角,∠QMC=30∘,∠QCM=60∘.
于是OC=SC⋅cos∠QCM=2⋅cos60∘=1,底面△ABC边长为√3.
因此三棱锥体积为34.
同理那里,根据对称性,好像应该是BO垂直于AC?