每日一题[856]数列与不等式

数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明：

(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；

(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$，$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$．

分析与解　(1)$n = 1$时显然成立，若$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，则 $${a_{n + 1}} = 1 + \dfrac{1}{{{a_n}}} \geqslant 1,{a_{n + 1}} = 1 +\dfrac{1}{{{a_n}}} \leqslant 1 + \dfrac{1}{1} = 2,$$ 所以命题得证．

(2)因为 $${a_{n + 1}}-{a_n}=\dfrac{1}{{{a_n}}} - \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}=\dfrac{{{a_{n - 1}} - {a_n}}}{{{a_n}{a_{n - 1}}}},$$ 所以 $$\left|{\dfrac{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}}\right|=\left|{\dfrac{1}{{{a_n}{a_{n - 1}}}}}\right|=\dfrac{1}{{{a_n}{a_{n - 1}}}}.$$ 所以，原命题即$2 \leqslant {a_n}{a_{n + 1}} \leqslant 3$，$n = 1, 2 , 3 , \cdots$．

事实上${a_n}_{ + 1} = 1 + \dfrac{1}{{{a_n}}}$，所以${a_n}{a_{n + 1}} = {a_n} + 1 \in \left[ {2,3} \right]$（由(1)）．

所以，原命题得证．