每日一题[91] f(x1)=f(x2)的处理方法

已知函数f(x)=2xx2π+cosx.设x1,x2(0,π)x1x2f(x1)=f(x2).若x1,x0,x2成等差数列,则(       )

A.f(x0)<0

B.f(x0)=0

C.f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定


cover正确答案是A.

考虑到f(x0)=f(x1+x22)=2x1+x2πsinx1+x22,

而根据题意有2x1x21π+cosx1=2x2x22π+cosx2,于是2x1+x2π=cosx1cosx2x1x2=sinx1x22x1x22sinx1+x22<sinx1+x22,

因此可得f(x0)<0,选A.最后附上该函数的图象.

QQ20150414-2

2015年1月21日补充改编题:

已知f(x)=x2+ax+sinπ2xx(0,1)

(1)若f(x)(0,1)上是单调递增函数,求a的取值范围.

(2)当a=2时,f(x)f(x0)恒成立,f(x1)=f(x2),求证:x1+x22x0

答案    (1)[π2,+);(2)略.

提示    (2)当x1=x2时,命题不难证明;当x1x2时,由f(x1)=f(x2)可以整理得(x1+x2)2+π2cosπ(x1+x2)4>0,进而可得x1+x22>x0

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每日一题[91] f(x1)=f(x2)的处理方法》有2条回应

  1. Liang说:

    f(x1)=f(x2)

  2. Liang说:

    每日一题要第二天公布答案好不?这样同学们可以在评论里答题的好不?

    PS:评论里可以使用\latex嘛?

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