已知函数f(x)=2x−x2π+cosx.设x1,x2∈(0,π),x1≠x2且f(x1)=f(x2).若x1,x0,x2成等差数列,则( )
A.f′(x0)<0
B.f′(x0)=0
C.f′(x0)>0
D.f′(x0)的符号不确定
考虑到f′(x0)=f′(x1+x22)=2−x1+x2π−sinx1+x22,
而根据题意有2x1−x21π+cosx1=2x2−x22π+cosx2,于是2−x1+x2π=−cosx1−cosx2x1−x2=sinx1−x22x1−x22⋅sinx1+x22<sinx1+x22,
因此可得f′(x0)<0,选A.最后附上该函数的图象.
2015年1月21日补充改编题:
已知f(x)=x2+ax+sinπ2x,x∈(0,1).
(1)若f(x)在(0,1)上是单调递增函数,求a的取值范围.
(2)当a=−2时,f(x)⩾f(x0)恒成立,f(x1)=f(x2),求证:x1+x2⩾2x0.
答案 (1)[−π2,+∞);(2)略.
提示 (2)当x1=x2时,命题不难证明;当x1≠x2时,由f(x1)=f(x2)可以整理得(x1+x2)−2+π2cosπ(x1+x2)4>0,进而可得x1+x22>x0.
f(x1)=f(x2)
每日一题要第二天公布答案好不?这样同学们可以在评论里答题的好不?
PS:评论里可以使用\latex嘛?