每日一题[91] f(x1)=f(x2)的处理方法

已知函数$f(x)=2x-\dfrac{x^2}{\pi}+\cos x$．设$x_1,x_2\in (0,\pi)$，$x_1\neq x_2$且$f(x_1)=f(x_2)$．若$x_1,x_0,x_2$成等差数列，则（       ）

A．$f'(x_0)<0$

B．$f'(x_0)=0$

C．$f'(x_0)>0$

D．$f'(x_0)$的符号不确定

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正确答案是A．

考虑到

$$f'(x_0)=f'\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)=2-\dfrac{x_1+x_2}{\pi}-\sin\dfrac{x_1+x_2}{2},$$

而根据题意有

$$2x_1-\dfrac{x_1^2}{\pi}+\cos x_1=2x_2-\dfrac{x_2^2}{\pi}+\cos x_2,$$ 于是 $$\begin{split}2-\dfrac{x_1+x_2}{\pi}&=-\dfrac{\cos x_1-\cos x_2}{x_1-x_2}\\&=\dfrac{\sin\dfrac{x_1-x_2}2}{\dfrac{x_1-x_2}2}\cdot\sin\dfrac{x_1+x_2}{2}\\&<\sin\dfrac{x_1+x_2}{2},\end{split}$$

因此可得$f'(x_0)<0$，选A．最后附上该函数的图象．

2015年1月21日补充改编题：

已知$f(x)=x^2+ax+\sin\dfrac{\pi}2x$，$x\in (0,1)$．

(1)若$f(x)$在$(0,1)$上是单调递增函数，求$a$的取值范围．

(2)当$a=-2$时，$f(x)\geqslant f(x_0)$恒成立，$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2\geqslant 2x_0$．

答案    (1)$\left[-\dfrac{\pi}{2},+\infty\right)$；(2)略．

提示    (2)当$x_1=x_2$时，命题不难证明；当$x_1\neq x_2$时，由$f(x_1)=f(x_2)$可以整理得

$$(x_1+x_2)-2+\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi(x_1+x_2)}4>0,$$ 进而可得$\dfrac{x_1+x_2}2>x_0$．