每日一题[849]寻找“定值”

已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$且垂直于$x$轴的直线与该双曲线的左支交于$A,B$两点，$AF_2,BF_2$分别交$y$轴于$P,Q$两点，若$\triangle PQF_2$的周长为$12$，求$ab$取得最大值时双曲线的离心率$e$．

正确答案是$\dfrac{2\sqrt 3}3$．

分析与解　根据题意，$\triangle PQF_2$的周长为$\triangle ABF_2$的周长的一半，因此$|AF_1|+|AF_2|$为定值$12$，也即 $$\dfrac{2b^2}{a}+2a=12.$$ 根据均值不等式，有 $$12=\dfrac{2b^2}{a}+\dfrac{2a}3+\dfrac{2a}3+\dfrac{2a}3\geqslant 4\left(\dfrac{16}{27}a^2b^2\right)^{\frac 14},$$ 等号当$\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2a}3$，即$a^2=3b^2$时取得．此时$4a^2=3c^2$，从而 $$e^2=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac 43,$$ 因此$e=\dfrac{2\sqrt 3}3$．

另法　得到$\dfrac {b^2}a+a=6$得，也可以三角换元，因为$a^2-6a+b^2=0$，所以可以令$a=3+3\cos\theta,b=3\sin\theta$，得到 $$\begin{split} ab=&9(1+\cos\theta)\sin\theta\\=&9\sqrt{(1+\cos\theta)^3\cdot(3-3\cos\theta)\cdot\dfrac 13}\\\leqslant &3\sqrt 3\cdot\sqrt{\left(\dfrac {3-3\cos\theta+3(1+\cos\theta)}4\right)^4}\\=&\dfrac {27}4\sqrt 3,\end{split}$$ 当$1+\cos\theta=3-3\cos\theta$，即$\cos\theta=\dfrac 12$时取到等号，此时$a=\dfrac 92,b=\dfrac 32\sqrt 3$，所以$e=\dfrac 23\sqrt 3$．